Question

20、已知關于x的一元二次方程x²+bx+c=x有兩個實數根x₁，x₂，且滿足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）試證明c＞0；
（2）證明b²＞2（b+2c）；
（3）對于二次函數y=x²+bx+c，若自變量取值為x₀，其對應的函數值為y₀，則當0＜x₀＜x₁時，試比較y₀與x₁的大小．

Answer 1

分析：（1）利用根與系數的關系，來可以求出c和兩根之和、兩根之積的關系式，然后利用已知條件就可以證明題目結論；
（2）利用根于系數的關系得出x₁+x₂=-（b-1），x₁•x₂=c，把它們代入（x₂-x₁）²可得出b²-2b-4c+1，然后再利用（x₂-x₁）²＞1求出b²-2b-4c＞0即可證明；
（3）本題主要用作差法來比較y₀與x₁的大小，先把x₀，x₁分別代入方程得出關于y₀，與x1的代數式，再用作差法比較大小．

解答：解：（1）將已知的一元二次方程化為一般形式即x²+（b-1）x+c=0，
∵x₁，x₂是該方程的兩個實數根
∴x₁+x₂=-（b-1），x₁•x₂=c，
而x₁＞0，x₂＞x₁+1＞0，
∴c＞0；

（2）（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=（b-1）²-4c
=b²-2b-4c+1，
∵x₂-x₁＞1，∴（x₂-x₁）²＞1，
于是b²-2b-4c+1＞1，即b²-2b-4c＞0，
∴b²＞2（b+2c）；

（3）當0＜x₀＜x₁時，有y₀＞x₁，
∵y₀=x₀²+bx₀+c，x₁²+bx₁+c=x₁，
∴y₀-x₁=x₀²+bx₀+c-（x₁²+bx₁+c）=（x₀-x₁）（x₀+x₁+b），
∵0＜x₀＜x₁，
∴x₀-x₁＜0，
又∵x₂-x₁＞1
∴x₂＞x₁+1，x₁+x₂＞2x₁+1，
∵x₁+x₂=-（b-1）∴-（b-1）＞2x₁+1，
于是2x₁+b＜0
∵0＜x₀＜x₁
∴x₀+x₁+b＜0，
由于x₀-x₁＜0，x₀+x₁+b＜0，
∴（x₀-x₁）（x₀+x₁+b）＞0，即y₀-x₁＞0，
∴當0＜x₀＜x₁時，有y₀＞x₁．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系．解此類題目要會代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值計算即可．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系為：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．