Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點F，使EF=AE，連接AF、BE和CF．
（1）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由；
（2）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積．

Answer 1

分析：（1）等邊三角形的三邊相等，三個角也相等，根據等邊三角形的性質能證明AF∥BD，AB∥FD，所以四邊形ABDF是怎樣的四邊形．
（2）過點E作EG⊥AB于點G，可求出EG的長，面積可求．

解答：解：（1）∵CD=CE，∠BCA=60°，
∴△DEC是等邊三角形，
∴∠DEC=∠EDC=∠AEF=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AB∥DF，
∵EF=AE，∠AEF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴∠AFD=60°，
∴BD∥AF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABDF是平行四邊形，
∴EF∥AB，且EF≠AB，
∴四邊形ABEF是梯形．
過點E作EG⊥AB于點G，
∵BD=2DC，AB=6，
∴AE=BD=EF=4，
∵∠AGE=90°，∠BAC=60°，
∴∠AEG=30°，
∴AG=

1

2

AE=2，
EG=

AE2-AG2

=

42-22

=2

3

，
∴S=

1

2

（4+6）×2

3

=10

3

．

點評：本題考查等邊三角形的性質和判定，勾股定理，平行四邊形的判定和性質等．