Question

【題目】如圖，直線y＝－x+4與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運動，點E是點B以Q為對稱中心的對稱點，同時動點Q從B點出發，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運動，當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連結PQ，設P，Q兩點運動時間為t秒（0＜t≤2）．

（1）直接寫出A，B兩點的坐標．

（2）當t為何值時，PQ∥OB？

（3）四邊形PQBO面積能否是△ABO面積的；若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；

（4）當t為何值時，△APE為直角三角形？（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）t＝；（3）不能，見解析；（4）當t為時，△APQ為直角三角形．

【解析】

（1）分別令y＝0，x＝0求解即可得到點A、B的坐標；

（2）利用平行線分線段成比例定理列式計算即可得解．

（3）作QH⊥OA于H，先證明△QAH∽△BAO，利用相似比可得到QH＝4﹣t，再利用四邊形PQBO面積是△ABO面積的得到S△APQ＝S△AOB，利用三角形面積公式得到2t（4﹣t）＝×，然后解關于t的方程即可．

（4）分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°兩種情況，利用∠OAB的余弦列式計算即可得解．

解：（1）令y＝0，則﹣x+4＝0，

解得x＝4，

x＝0時，y＝4，

∴OA＝4，OB＝4，

∴點A（4，0），B（0，4）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝＝＝4，

∵點P的速度是每秒2個單位，點Q的速度是每秒1個單位，

∴AP＝2t，AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，

若PQ∥OB，則∠APQ＝∠AOB＝90°，則

∴，

解得t＝；

（3）如圖，作QH⊥OA于H，

∴QH∥OB，

∴△QAH∽△BAO，

∴，即，

∴QH＝4﹣t，

當四邊形PQBO面積是△ABO面積的時，S△APQ＝S△AOB，

∴2t（4﹣t）＝×，

整理得t2﹣4t+4＝0，此時方程無實數解，

∴四邊形PQBO面積不能是△ABO面積的．

（4）若∠APQ＝90°，由（2）可知t＝；

若∠AQP＝90°，則cos∠OAB＝，

∴＝，

解得t＝8﹣4，

∵0＜t≤2，

∴t的值為，

∴當t為時，△APQ為直角三角形．