Question

【題目】如圖所示，拋物線yx2bxc與直線yx3分別交于x軸，y軸上的B，C兩點，設該拋物線與x軸的另一個交點為A，頂點為D，連接CD交x軸于點E．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）求該拋物線的對稱軸和D點坐標；

（3）點F，G是對稱軸上兩個動點，且FG=2，點F在點G的上方，請直接寫出四邊形ACFG的周長的最小值；

（4）連接BD，若P在y軸上，且∠PBC=∠DBA+∠DCB，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線；（3）；（4）點P的坐標為或

【解析】

（1）先根據直線求出B,C的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的表達式即可；

（2）將拋物線的表達式變為頂點式，即可得到對稱軸和D點坐標；

（3）因為AC,FG的值固定，所以只需找到的最小值即可，過點C作拋物線對稱軸的對稱點，將向下平移2個單位使F與點G重合，得到，則，當三點共線時，最小，最小值即為的長度，通過勾股定理求出的值即可求解；

（4）分兩種情況：當點P在y軸正半軸時和當點P在y軸負半軸時，首先通過銳角三角函數得出，從而得出，設，則，通過建立一個關于m的方程解方程即可求出PC的值，進而OP的長度即可，則P的坐標可求．

解：（1）令，則，

令，則，解得，

，

將點代入中得，

，

解得

∴拋物線的解析式為；

（2）∵，

∴拋物線的對稱軸為，；

（3）∵拋物線的對稱軸為，,

，

∵，

∵四邊形ACFG的周長為，而，

∴只需找到的最小值即可，

過點C作拋物線對稱軸的對稱點，將向下平移2個單位使F與點G重合，得到，則，

當三點共線時，最小，最小值即為的長度，

，拋物線對稱軸為，

，

，

，

，

∴四邊形ACFG的周長的最小值為；

（4）如圖，當點P在y軸正半軸時，過點P作交BC的延長線于點Q，

∵，

．

設直線的解析式為，

將代入解析式中得

，

解得，

∴直線CB解析式為，

令，則，解得，

∴，

，

．

，

，

，

．

，

．

，

.

設，則，

，

，

解得，

，

，

；

當點P在y軸負半軸時，如圖，

同理可得．

設，則，

，

，

解得，

，

，

，

綜上所述，點P的坐標為或．