Question

如圖：△ACB與△DCE是全等的兩個直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，AC=4，BC=2，點D、C、B在同一條直線上，點E在邊AC上．
（1）直線DE與AB有怎樣的位置關系？請證明你的結論；
（2）如圖（1）若△DCE沿著直線DB向右平移多少距離時，點E恰好落在邊AB上，求平移距離DD′；
（3）在△DCE沿著直線DB向右平移的過程中，使△DCE與△ACB的公共部分是四邊形，設平移過程中的平移距離為x，這個四邊形的面積為y，求y與x的函數關系式，并寫出它的定義域．

Answer 1

分析：（1）延長DE交AB于點G，由三角形的內角和能證明DE與AB的關系，
（2）由三角形相似能夠計算出平移距離DD′，
（3）當點E恰好落在邊AB上前時，△DCE與△ACB的公共部分是四邊形，當C點與B點重合后向右移時，△DCE與△ACB的公共部分是四邊形，y與x的函數關系式分為兩部分，利用相似求出CN長度，從而得到AN長度，再得到NM、AM長度，
利用S_△ABC-S_△ANM得出四邊形面積．

解答：解：（1）DE⊥AB，如圖
延長DE交AB于點G，
在△AGE與△DCE中，
∠A=∠D，∠AEG=∠DEC，
∴∠AGE=∠ECD=90°，
∴DE⊥AB．

（2）
作圖如圖，當點E恰好落在邊AB上，
Rt△D′HF∽Rt△FHB，
∴

HF

D′H

=

HB

HF

，
解得HB=1，
∴DD′=1，

（3）當平移過程中的平移距離為0＜x≤1時，△DCE與△ACB的公共部分是四邊形MCC′E′，
∴四邊形MCC′E′面積為：

1

2

×CC′×（MC+C′E′）=

1

2

x（2-

x

2

+2）=-

1

4

x²+2x；（0＜x≤1），
當1＜x＜2時，△DCE與△ACB的公共部分不是四邊形，
當2≤x＜4時，△DCE與△ACB的公共部分是四邊形NCBM，
∵CC'=x，所以D'C=4-x，
∵NC∥E″C″，
∴△D″CN∽△D″C″E″，
∴

D″C

D″C″

=

NC

E″C″

，

4-x

4

=

NC

2

，
∴CN=2-

x

2

，
∴AN=4-（2-

x

2

）=2+

x

2

，
∵△ANM∽△ABC，
∴

AN

AB

=

AM

AC

=

MN

BC

，
∴分別求出AM=

4 5 + 5 x

5

，
NM=

4 5 + 5 x

10

，
∴四邊形NCBM面積為：
S_△ABC-S_△ANM=

1

2

×2×4-

1

2

×

4 5 + 5 x

5

×

4 5 + 5 x

10

，
=-

1

20

x²-

2

5

x+

16

5

，（2≤x＜4）．

點評：本題主要考查二次函數的最值和平移等知識點．