Question

已知拋物線y=ax²+bx+c過點C（0，3），頂點P（2，-1），直線x=m（m＞3）交x軸于點D，拋物線交x軸于A、B兩點（如圖10）．
（1）①求得拋物線的函數解析式為

y=x²-4x+3

；
②A、B兩點的坐標是A（

（1，0）

），B（

（3，0）

）；
③該拋物線關于原點成中心對稱的拋物線的函數解析式是

y=-x²-4x-3

；
④將已知拋物線平移，使頂點落在原點，則平移后得到的新拋物線的函數解析式是

y=x²

．
（2）若直線x=m（m＞3）上有一點E（E在第一象限），使得以B、E、D為頂點的三角形和以A、C、O為頂點的三角形相似，求E點的坐標（用m的代數式表示）
（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，若存在，求出m的值及平行四邊形ABEF的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據函數過點C（0，3），頂點坐標為（2，-1）可得出a、b、c的值，繼而可得出解析式．②根據函數解析式可求出A、B兩點的坐標．③設點（x，y）在對稱后的函數圖象上，則（-x，-y）在原函數圖象上，代入可得出對稱后的函數關系式．④關于y軸對稱的二次函數解析式為y=ax²，結合①可得出答案．
（2）分別討論，①當△EDB∽△AOC時，②當△EDB∽△COA時，根據相似三角形的對應邊成比例得出ED的長，繼而可得出點E的坐標．
（3）要使四邊形ABEF為平行四邊形，則點F橫坐標m-2，縱坐標等于點E的縱坐標，將點F的坐標代入可得出m的值，繼而也可求出平行四邊形的面積．

解答：解：（1）①將點（0，3）代入可得c=3，
又∵頂點P（2，-1），
∴可得出-

b

2a

=2，

4ac-b2

4a

=-1，
解得：a=1，b=-4，
即可得拋物線的函數解析式為y=x²-4x+3；
②由①得：y=x²-4x+3=（x-1）（x+3），
故可得出A（1，0），B（3，0）；
③設點（x，y）在對稱后的函數圖象上，則（-x，-y）在原函數圖象上，
故可得：-y=x²+4x+3，y=-x²-4x-3．
即關于原點成中心對稱的拋物線解析式為：y=-x²-4x-3；
④平移后頂點落在原點的拋物線為y=x²．

（2）①當△EDB∽△AOC時，

ED

AO

=

BD

CO

，

ED

1

=

m-3

3

，
則ED=

m-3

3

，得E₁[m，

m-3

3

]；
②當△EDB∽△COA時，

ED

CO

=

BD

AO

，即

ED

3

=

m-3

1

，
則ED=3（m-3），得E₂（m，3m-9）．
因為∠EDB=∠AOC=90°，所以只有這兩種情況．

（3）在（2）的條件下，假設拋物線上存在點F，使四邊形ABEF為平行四邊形，
則EF=AB=2，點F橫坐標m-2，縱坐標等于點E的縱坐標，
當點E坐標為：E₁（m，

m-3

3

）時，F₁（m-2，

m-3

3

）在拋物線上，
有

m-3

3

=(m-2)2-4(m-2)+3?3m2-25m+48=0，
∴m=

16

3

或3（舍去），
這時F1（

10

3

，

7

9

），S平行四邊形ABEF=2×

7

9

=

14

9

．
②當點E坐標為：E₂（m，3m-9）時，F₂（m-2，3m-9）在拋物線上，
則3m-9=（m-2）²-4（m-2）+3?m²-11m+24=0，
解得：m=8或3（舍去），這時F₂（6，15），S_{平行四邊形ABEF}=2×15=30．
綜上，存在m₁=

16

3

，S_{平行四邊形}=

14

9

；存在m₂=8，S_{平行四邊形ABEF}=30．

點評：此題考查了二次函數的綜合題，解答本題的關鍵是掌握待定系數法求二次函數解析式的知識，平行四邊形的性質及相似三角形的性質，難度較大，注意細心求解．