Question

已知：如圖，在平面直角坐標系O中，矩形OABC的邊OA在軸的正半軸上，OC在軸的正半軸上，OA=2，OC=3.過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E.

（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G.如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）EF=GO成立；（3）Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）

試題分析：（1）已知三點，可用待定系數法求出二次函數解析式；
（2）關鍵在于正確作出旋轉后的圖形，結合幾何知識，利用數形結合的思想求解；
（3）應當明確△PCG構成等腰三角形有三種情況，逐一討論求解，要求思維的完備性．
（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC．AD=2．
∴E（0，1）
設過點E、D、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
將點E的坐標代入，得c=1．將c=1和點D、C的坐標分別代入，得


（2）EF=2GO成立．

∵點M在該拋物線上，且它的橫坐標為，
∴點M的縱坐標為
設DM的解析式為y=kx+b₁（k≠0），將點D、M的坐標分別代入

∴DM的解析式為
∴F（0，3），EF=2．
過點D作DK⊥OC于點K，則DA=DK

∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∵OC=3，
∴GO=1．
∴EF=2GO；
（3）∵點P在AB上，G（1，0），C（3，0），
則設P（t，2）．
∴PG²=（t-1）²+2²，PC²=（3-t）²+2²，GC=2．
①PG=PC，則（t-1）²+2²=（3-t）²+2²，
解得t=2．
∴P（2，2），此時點Q與點P重合，
∴Q（2，2）．（9分）
②若PG=GC，則（t-1）²+2²=2²，
解得t=1，
∴P（1，2），
此時GP⊥x軸．GP與該拋物線在第一象限內的交點Q的橫坐標為1，
∴點Q的縱坐標為，
∴Q（1，）
③若PC=GC，則（3-t）²+2²=2²，解得t=3，
∴P（3，2），此時PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．
過點Q作QH⊥x軸于點H，則QH=GH，設QH=h，
∴Q（h+1，h）．

解得h₁=，h₂=-2（舍去）．
∴Q（，）．
綜上所述，存在三個滿足條件的點Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．