Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點，以CD為直徑作⊙O，交邊AC于點P，連接BP，交AD于點E．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）如果PB是⊙O的切線，BC=4，求PE的長．

Answer 1

【答案】（1） 證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：

（1）由AB=AC，點D是BC的中點可得AD⊥BC，結合CD是⊙O的直徑，即可得AD是⊙O的切線；

（2）連接OP，由已知易求得BD、OB、OP和BP的長，再證PE=DE，△BDE∽△BPO即可列出比例式求得DE的長，從而可得PE的長.

試題解析：

（1）∵AB=AC，點D是邊BC的中點，

∴AD⊥CD，

∵CD為⊙O的直徑，

∴AD是⊙O的切線；

（2）連接OP，

∵點D是邊BC的中點，BC=4，CD是⊙O的直徑，

∴CD=BD=2，OP=1，OB=3，

∴在Rt△BOP中，BP=，

∵AD是⊙O的切線，PB是⊙O的切線，

∴PE=DE，∠BPO=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADB=∠BPO=90°，

又∵∠DBE=∠PBO，

∴△BDE∽△BPO，

∴，即，解得：DE=，

∴PE=DE=.