Question

如圖，半圓O的直徑AB=12cm，射線BM從與線段AB重合的位置起，以每秒6°的旋轉速度繞B點按順時針方向旋轉至BP的位置，BP交半圓于E，設旋轉時間為ts（0＜t＜15），
（1）求E點在圓弧上的運動速度（即每秒走過的弧長），結果保留π．
（2）設點C始終為

AE

的中點，過C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分別于G、F，過F作FN∥CD，過C作圓的切線交FN于N．
求證：①CN∥AE；
②四邊形CGFN為菱形；
③是否存在這樣的t值，使BE²=CF•CB？若存在，求t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據弧長計算公式直接求出即可；
（2）①利用圓周角定理和平行線的判定以及弦切角定理得出即可；
②利用平行四邊形的判定以及菱形判定得出即可；
③利用相似三角形的判定得出△ACF∽△BCA，再利用等腰三角形的知識得出當t=10s時，∠AOC=

1

2

∠AOE=60°，即可得出答案．

解答：（1）解：∵射線BM從與線段AB重合的位置起，以每秒6°的旋轉速度繞B點按順時針方向旋轉至BP的位置，
∴B一秒P轉動的圓心角為12°，
∴每秒走過的弧長為：

12π×6

180

=

2

5

πcm∕s；

（2）①證明：如圖所示：
∵點C始終為

AE

的中點，過C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分別于G、F，過F作FN∥CD，過C作圓的切線交FN于N．
∴∠ACD+∠CAG=∠CGF，∠ABC=∠GAC=∠ACG，
∠MCA=∠ABC，
∴∠MCA+∠ACG=∠ACD+∠CAG，
∴CN∥AE；
②證明：∵FN∥CD，CN∥AE；
∴四邊形CGFN是平行四邊形，
∵∠GCF=90°-∠ACG，
∠CFG=∠EFB=90°-∠EBC，
∵∠EBC=∠ACD，
∴∠GCF=∠GFC，
∴CG=GF，
∴平行四邊形CGFN為菱形；
③解：連接EO，CO．
存在，理由如下：
∵∠ACF=∠ACB，
∠CAF=∠CBA，
∴△ACF∽△BCA，
∴

AC

BC

=

CF

AC

，
∴AC²=BC•CF，
∵當t=10s時，∠AOC=

1

2

∠AOE=60°，
∴∠BOE=60°，
∴△AOC，△BOE都是等邊三角形，且此時全等，
∴AC=BE，
∴BE²=BC•CF．

點評：此題主要考查了切線的性質定理以及圓周角定理、相似三角形的判定、菱形的判定等知識，根據已知得出角之間等量關系是解決問題的關鍵．