Question

如圖，直徑AB=12cm，AM、BN是⊙O的切線，切點分別為A、B．
（1）若AD=4cm，DC是⊙O的切線，切點為E，求BC的長．
（2）若一只螞蟻從B點出發沿BA方向走到G點，速度為每秒4cm；同時另一只螞蟻也從B點出發沿BN方向走到H點，速度為每秒3cm，連接GH，求經過多少秒后，GH與⊙O相切（結果保留根號）．

Answer 1

分析：（1）根據切線長定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，則DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根據勾股定理，就可以求出y與x的關系，即線段BC與已知線段AD間的數量關系；
（2）設經過t秒后，GH與⊙O相切．如備用圖，過點A作AD⊥AB交GH于點C，構建相似三角形△GAD∽△GBH，則對應邊成比例：

GA

GB

=

AD

BH

，即

4t-12

4t

=

AD

3t

，①
由（1）知，當GH與⊙O相切時，BH=

36

AD

，即3t=

36

AD

②，根據①②即可求得t的值．

解答：解：作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN與⊙O切于點定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠A=∠B=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
則DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）²=（x-y）²+12²，
整理為y=

36

x

，即BC=

36

4

=9（cm），即BC的長度為9cm；

（2）設經過t秒后，GH與⊙O相切．
如備用圖，過點A作AD⊥AB交GH于點C．
∵BN是⊙O的切線，
∴BN⊥AB，
∴AD∥BH，
∴△GAD∽△GBH，
∴

GA

GB

=

AD

BH

，即

4t-12

4t

=

AD

3t

，①
由（1）知，當GH與⊙O相切時，BH=

36

AD

，即3t=

36

AD

，②
由①②解得t=4或t=-1（舍去）．
所以，當經過4秒后，GH與⊙O相切．

點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了矩形的判定與性質，勾股定理，切線的性質．解答（2）題時，可以直接利用（1）中的函數關系式．