Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 點D在邊AC上（不與A，C重合），連結BD，F為BD中點.

（1）若過點D作DE⊥AB于E，連結CF、EF、CE，如圖1．設，則k =       ；
（2）若將圖1中的△ADE繞點A旋轉，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉，點F始終為BD中點，求線段CF長度的最大值．

Answer 1

（1）k=1（2）證明，則可得. （3）當點D在靠近點C的
三等分點時，線段CF的長度取得最大值為

試題分析：解：（1）k=1；                                                              .                    
（2）如圖2，過點C作CE的垂線交BD于點G，設BD與AC的交點為Q.

由題意，tan∠BAC=，
∴.
∵D、E、B三點共線，
∴AE⊥DB.
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,
∴∠QBC=∠EAQ.
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG.
∴.
∴.
∴GB=DE.
∵F是BD中點，
∴F是EG中點.
在中，,
∴.                        .                      .                
（3）情況1：如圖，當AD=時，取AB的中點M，連結MF和CM，

∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,
∴AC=12，AB=.
∵M為AB中點，∴CM=,
∵AD=，
∴AD=.
∵M為AB中點，F為BD中點，
∴FM== 2.
∴當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，此時CF=CM+FM=.
情況2：如圖，當AD=時，取AB的中點M，連結MF和CM，

類似于情況1，可知CF的最大值為.             
.                      6分
綜合情況1與情況2，可知當點D在靠近點C的
三等分點時，線段CF的長度取得最大值為  
點評：本題難度較大。主要考查學生對綜合型幾何題的掌握與靈活運用。這類題型需要學生多培養數形結合思想，多做訓練來提高題感和反應能力，為中考常考題型，要牢固掌握。