Question

【題目】如圖，在中，平分，交于點.

（1）尺規作圖：作平分，分別交于點；（保留作圖痕跡，不必寫出作法）

（2）在（1）的條件下，求證：點在的平分線上；

（3）若，過點作，垂足為點，請畫出符合條件的圖形，猜想和的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）（或），證明詳見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的尺規作圖步驟解答即可；

（2）根據角平分線的性質定理和判定定理解答即可；

（3）分別延長、交于點.通過證明可證，再證明，即可得到（或）.

（1）如圖，線段就是所求作的角平分線；

（2）證明：

如圖，過點作，，，點，，為垂足.

∵平分，，，

∴.

同理可得：.

∴，

∵，，

∴點在的平分線上（角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）.

（3）和的數量關系是：（或）.

證明如下：

如圖，分別延長、交于點.

∵，，

∴，，

，，

∴，

∵，

∴，

∴.

∵平分，

∴，

∵，，

∴.

∴，

∴，即.