Question

如圖，設拋物線C₁：y=a（x+1）²-5，C₂：y=-a（x-1）²+5，C₁與C₂的交點為A，B，點A的坐標是（2，4），點B的橫坐標是-2．
（1）求a的值及點B的坐標；
（2）點D在線段AB上，過D作x軸的垂線，垂足為點H，在DH的右側作正三角形DHG．記過C₂頂點M的直線為l，且l與x軸交于點N．
①若l過△DHG的頂點G，點D的坐標為（1，2），求點N的橫坐標；
②若l與△DHG的邊DG相交，求點N的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于兩個拋物線同時經過A、B兩點，將A點坐標代入兩個拋物線中，即可求得待定系數的值，進而可求出B點的坐標．
（2）①已知了點D的坐標，即可求得正△DGH的邊長，過G作GE⊥DH于E，易求得DE、EH、EG的長；根據（1）題所求得的C₂的解析式，即可求出點M的坐標，也就能得到ME、MH的長，易證△MEG∽△MHN，根據相似三角形所得比例線段，即可求得N點的橫坐標．
②求點N橫坐標的取值范圍，需考慮N點橫坐標最大、最小兩種情況：
①當點D、A重合，且直線l經過點G時，N點的橫坐標最大；解法可參照（2）的思路，過點G作GQ⊥x軸于Q，過點M作MF⊥x軸于F，設出點N的橫坐標，然后分別表示出NQ、NF的長，通過證△NQG∽△NFM，根據所得比例線段，即可求得此時N點的橫坐標；
②當點D、B重合，直線l過點D時，N點的橫坐標最小，解法同①．
解答：解：（1）∵點A（2，4）在拋物線C₁上，
∴把點A坐標代入y=a（x+1）²-5得a=1，
∴拋物線C₁的解析式為y=x²+2x-4，
設B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；

（2）①如圖
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x軸，
∴點M在DH上，MH=5，
過點G作GE⊥DH，垂足為E，
由△DHG是正三角形，可得EG=，EH=1，
∴ME=4，
設N（x，0），則NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得，
∴，
∴x=，
∴點N的橫坐標為；
②當點D移到與點A重合時，如圖，
直線l與DG交于點G，此時點N的橫坐標最大；
過點G，M作x軸的垂線，垂足分別為點Q，F，
設N（x，0），
∵A（2，4），即AH=4，且△AGH為等邊三角形，
∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
∴GQ=HG=2，HQ==2，
∴OQ=OH+HQ=2+2，
∴G（，2），
∴NQ=，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴，
∴，
∴，
當點D移到與點B重合時，如圖：
直線l與DG交于點D，即點B，
此時點N的橫坐標最小；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），D（-2，-4），
設N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴，
∴，
∴，
∴點N橫坐標的范圍為≤x≤且x≠0．
點評：此題是二次函數的綜合題，主要考查二次函數解析式的確定、等邊三角形的性質以及相似三角形的判定和性質；在解答（2）題時，關鍵是正確地作圖，構造出與所求相關的相似三角形，然后利用相似三角形的性質來求解．