Question

【題目】已知：如圖，一次函數y=kx﹣1的圖象經過點A（3，m）（m＞0），與y軸交于點B．點C在線段AB上，且BC=2AC，過點C作x軸的垂線，垂足為點D．若AC=CD．

（1）求這個一次函數的表達式；

（2）已知一開口向下、以直線CD為對稱軸的拋物線經過點A，它的頂點為P，若過點P且垂直于AP的直線與x軸的交點為Q（﹣，0），求這條拋物線的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣1；（2）拋物線解析式為：y=

【解析】（1）利用三角形相似和勾股定理構造方程，求AC和m

（2）由∠APQ=90°，構造△PQD∽△APE構造方程求點P坐標可求二次函數解析式．

（1）過點A作AF⊥x軸，過點B作BF⊥CD于H，交AF于點F，過點C作CE⊥AF于點E.

設AC=n，則CD=n

∵點B坐標為（0，-1）

∴CH=n+1，AF=m+1

∵CH∥AF，BC=2AC

∴，即：

整理得：

n=

Rt△AEC中，

CE2+AE2=AC2

∴5+（m-n）2=n2

把n=代入，得：

解得m1=5，m2=-3（舍去）

∴n=3

∴把A（3，5）代入y=kx-1得

k=

∴y=x-1

（2）如圖，過點A作AE⊥CD于點E

設點P坐標為（2，n），由已知n＞0

由已知，PD⊥x軸，易證△PQD∽△APE，

∴，

∴，

解得n1=7，n2=-2（舍去）.

設拋物線解析式為y=a（x-h）2+k

∴y=a（x-2）2+5

把A（3，5）代入y=a（x-2）2+7

解得a=-

∴拋物線解析式為：y=-x2+x1