Question

如圖，已知以點O為兩個同心圓的公共圓心，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．
（1）求證：AC=BD；
（2）若AB=8，CD=4，求圓環的面積．

Answer 1

解：（1）過點O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，
∴AC=BD；

（2）連接OA，OC，
在Rt△AOE與Rt△OCE中：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，
∴OA²-AE²=OC²-CE²，
∴OA²-OC²=AE²-CE²，
∵AB=8，CD=4，
∴AE=4，CE=2，
∴OA²-OC²=12，
∴圓環的面積為：πOA²-πOC²=π（OA²-OC²）=12π．
分析：（1）首先過點O作OE⊥AB于E，由垂徑定理可證得AE=BE，CE=DE，繼而可得AC=BD；
（2）首先連接OA，OC，由勾股定理可得：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，繼而可得OA²-OC²=12，則可求得圓環的面積．
點評：此題考查了垂徑定理與勾股定理的知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．