Question

【題目】已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）圖中有幾個等腰三角形？請說明EF與BE、CF間有怎樣的關系．
（2）若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請分別指出它們．另第（1）問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？
（3）若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時圖中還有哪幾個等腰三角形？EF與BE、CF間的關系如何？為什么？

Answer 1

【答案】
（1）解：有5個等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下：

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

又∠B、∠C的平分線交于O點，

∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，

∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，

∴OE=BE，OF=CF，

∴EF=OE+OF=BE+CF．

又AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，

∴EF=BE+CF=2BE=2CF；

（2）有2個等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF；

第一問中的EF與BE，CF的關系是：EF=BE+CF．

（3）有，還是有2個等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下：

∵EO∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延長線上的一點）

又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線

∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCD，

∴∠EOB=∠EBO，

∴BE=OE，

∠FCO=∠FOC，

∴CF=FO，

又∵EO=EF+FO，

∴EF=BE﹣CF．

【解析】（1）根據EF∥BC，∠B、∠C的平分線交于O點，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個等腰三角形；根據等腰三角形的性質，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關系．（2）根據EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用幾個等腰三角形的性質即可得出EF與BE，CF的關系．（3）EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形．
【考點精析】掌握平行線的性質是解答本題的根本，需要知道兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．