Question

（本題10分）等邊⊿ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，連結(jié)AF，BE相交于點(diǎn)P．

（1）若AE=CF： ①求∠APB的度數(shù)．（3分）②若AE=2，試求的值．（3分）

（2）若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．（4分）

Answer 1

（1）①120°；②12 ；（2）或3．

【解析】

試題分析：（1）①證明△ABE≌△CAF，借用外角即可得到答案；

②利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)度，再利用平行線分線段成比例定理或三角形相似的性質(zhì)求得，即可得到答案；

（2）當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案，點(diǎn)F靠近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)B向AC作的垂線段的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．

∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，

∴△APE∽△ACF，

∴，即，所以APAF=12 ；

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況．

①當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，

∴∠AOB=120°，又∵AB=6，

∴OA=，

點(diǎn)P的路徑是．

②當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)B向AC做的垂線段的長(zhǎng)度；

∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，∴點(diǎn)P的路徑的長(zhǎng)度為： ．

所以，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為或3．

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；弧長(zhǎng)公式．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
組成三角形的線段叫做三角形的邊．
相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．
相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角．
（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．
（4）三角形具有穩(wěn)定性． 試題屬性

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