Question

已知△ABC的面積為a，O、D分別是邊AC、BC的中點．
（1）畫圖：在圖中將點D繞點O旋轉180°得到點E，連接AE、CE．填空：四邊形ADCE的面積為

a

；
（2）在（1）的條件下，若F₁是AB的中點，F₂是AF₁的中點，F₃是AF₂的中點，…，F_n是AF_n-1的中點 （n為大于1的整數），則△F₂CE的面積為

5

8

a

；△F_nCE的面積為

2n+1

2n+1

a

．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的判定的平行四邊形ADCE，推出AE=CD，AD=CE，根據SSS證△ADC和△CEA全等，即可求出答案；
（2）設△ABC邊AB上的高是h，則

1

2

AB×h=a，求出DE∥AB，推出△EAF₂的邊AF₂上的高和△BCF₂上的邊BF₂上的高相等，都是

1

2

h，根據△F₂CE的面積為：S_△ABD+S_{四邊形ADCE}-S△BCF2-S△AEF2，代入求出即可；求出BF₁=

1

2

AB，AF₁=

1

2

AB，BF₂=

3

4

AB，AF₂=

1

4

AB，BF₃=

7

8

AB，AF₃=

1

8

AB，根據線段的結果推出BF_n=

2n-1

2n

AB，AF_n=

1

2n

AB，根據△F_nCE的面積為S_△ABD+S_{四邊形ADCE}-S△BCFn-S△AEFn，代入求出即可．

解答：（1）解：如圖：
∵AO=OC，DO=OE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AE=DC，CE=AD，
在△ADC和△CEA中

AD=CE AC=AC AE=CD

，
∴△ADC≌△CEA，
∴S_△ADC=S_△CEA=

1

2

a，
∴四邊形ADCE的面積是

1

2

a+

1

2

a=a，
故答案為：a．
（2）解：過C作CM⊥AB于M，
設△ABC邊AB上的高是CM=h，則

1

2

AB×h=a，
∵BD=DC，AO=CO，
∴DE∥AB，
∴△EAF₂的邊AF₂上的高和△BAD上的邊BF₂上的高相等，都是

1

2

h，
∴△F₂CE的面積為：S_△ABD+S_{四邊形ADCE}-S△BCF2-S△AEF2，
=

1

2

a+a-

1

2

×

3

4

AB×h-

1

2

×

1

4

AB×

1

2

h═

5

8

a，
∵BF₁=

1

2

AB，AF₁=

1

2

AB，
BF₂=

3

4

AB，AF₂=

1

4

AB，
BF₃=

7

8

AB，AF₃=

1

8

AB，
…
∴BF_n=

2n-1

2n

AB，AF_n=

1

2n

AB，
∴；△F_nCE的面積為S_△ABD+S_{四邊形ADCE}-S△BCFn-S△AEFn，
=

1

2

a+a-

1

2

×

2n-1

2n

AB×h-

1

2

×

1

2n

AB×

1

2

h，
=

1

2

a+a-

2n-1

2n

a-

1

2n+1

a，
=

2n+1

2n+1

a．
故答案為：

5

8

a，

2n+1

2n+1

a．

點評：本題考查了三角形的面積，平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形的中位線定理，旋轉的性質等知識點的應用，關鍵是根據線段的結果得出BF_n，AF_n的長，本題有一定的難度，對學生提出了較高的要求，主要培養學生的觀察能力和總結規律的能力．