Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E，F，且使DE始終與AB垂直．
（1）△BDF是什么三角形？請說明理由；
（2）設AD=x，CF=y，試求y與x之間的函數關系式；（不用寫出自變量x的取值范圍）
（3）當移動點D使EF∥AB時，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）由已知可得∠FDB=60°，∠B=60°，從而可得到△BDF是等邊三角形．
（2）由∠A=30°，∠ACB=90°可得AB=2BC=2，再將CF=y，BF=1-y，代入即可得出x，y的關系；
（3）當EF∥AB時，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，CF=

1

2

EF，EF=

1

2

DF，代入計算即可求得AD的長．

解答：解：（1）△BDF是等邊三角形，證明如下：
∵ED⊥AB，∠EDF=30°，∴∠FDB=60°，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，
∴∠DFB=60°，∴△BDF是等邊三角形．

（2）∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2，
∵CF=y，∴BF=1-y，又△BDF是等邊三角形，∴BD=BF=1-y，
∴x=2-（1-y）=1+y，∴y=x-1，

（3）當EF∥AB時，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，
∴CF=

1

2

EF，EF=

1

2

DF，
∵DF=BF=1-y，∴y=

1

4

（1-y），∴y=

1

5

，
∴x=y+1=

6

5

，即AD=

6

5

．

點評：本題考查的知識點比較多，難度較大，要熟練地掌握等邊三角形的判定與性質．