Question

已知：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，

（1）如圖，E，F分別是AB，AC上的點，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形；

（2）若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可證得△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即可證得結論；（2）仍為等腰直角三角形

【解析】

試題分析：（1）連接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，可得∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而即可得到∠B=∠DAF，再有BE=AF，AD=BD，即可證得△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即可證得結論；

（2）先由∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°，可得∠DAF=∠DBE，再結合兩組對邊對應相等，即可證得△BED≌△AFD從而證得結論．

① 連結AD，

∵，∠BAC＝90°，為BC的中點

∴AD⊥BC，BD＝AD

∴∠B＝∠DAC＝45°

又∵BE＝AF

∴△BDE≌△ADF（SAS）

∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF

∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°

∴△DEF為等腰直角三角形；

②若E，F分別是AB，CA延長線上的點，如圖所示，連結AD 

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點

∴AD＝BD，AD⊥BC

∴∠DAC＝∠ABD＝45°

∴∠DAF＝∠DBE＝135°

又AF＝BE

∴△DAF≌△DBE（SAS）

∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB

∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°

∴△DEF仍為等腰直角三角形.

考點：本題考查的是等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質

點評：解答本題的關鍵是熟練掌握等腰直角三角形底邊上的中線平分頂角，并且等于底邊的一半．