Question

【題目】已知二次函數y=x2-（2m+1）x+（m2-1）.

（1）求證：不論m取什么實數，該二次函數圖象與x軸總有兩個交點；

（2）若該二次函數圖象經過點（2m-2，-2m-1），求該二次函數的表達式.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）y=x2-5x+1；y=x2-13x+17

【解析】試題分析：(1)、利用配方法得出b2-4ac的值恒為正數，則二次函數圖像與x軸總有兩個不同的交點；(2)、將點(2m-2，-2m-1)代入函數解析式，從而求出m的值，得出函數解析式.

試題解析：（1）∵b2-4ac=（2m+1）2-4（m2-1）=（4m2+4m+1）-2m2+4=2m2+4m+5=2（m+1）2+3，

∴不論m取什么實數，方程x2-（2m+1）x+（m2-1）=0都有兩個實數根，

∴不論m取什么實數，該二次函數圖象總與x軸有兩個交點；

（2）∵該二次函數圖象經過點（2m-2，-2m-1），

∴（2m-2）2-（2m+1）（2m-2）+（m2-1）=-2m-1，

解得m1=2，m2=6，

即：m=2時，該二次函數的表達式為y=x2-5x+1；

m=6時，該二次函數的表達式為y=x2-13x+17．