Question

如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，BE∥AC、AE∥BD．
（1）求證：四邊形OAEB是菱形．
（2）當題中的矩形改為菱形時，則四邊形0AEB是

 

形；當題中的矩形改為正方形時，則四邊形0AEB是

 

形．

Answer 1

分析：（1）根據BE∥AC、AE∥BD，很容易證明四邊形OAEB是平行四邊形，然后根據有一組鄰邊相等可證明是菱形．
（2）當四邊形ABCD是菱形時，那么AC⊥BD，所以是矩形，當四邊形ABCD是正方形時，AC和BD垂直且相等，故四邊形OAEB是正方形．

解答：（1）證明：∵BE∥AC即BE∥AO（1分）
AE∥BD即AE∥BO
∴四邊形OAEB是平行四邊形（2分）
又∵四邊形ABCD是矩形
∴AC=BD（3分）
AO=

1

2

AC BO=

1

2

BD
∴AO=BO（4分）
∴四邊形OAEB是菱形．（5分）

（2）故答案為：矩形；正方形．（7分）

點評：本題考查了矩形的判定和性質，菱形的判定和性質，以及正方形的判定和性質定理等知識點．