Question

已知：如圖，⊙O的內接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延長線于D，OC交AB于E．

小題1:求∠D的度數；
小題2:求證：AC²＝AD·CE；
小題3:求的值．

Answer 1

小題1:解：如圖，連結OB．

∵⊙O的內接△ABC中，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∵AD∥OC，
∴∠D＝∠OCB＝45°．
小題2:證明：∵∠BAC＝45°，∠D＝45°，
∴∠BAC＝∠D．
∵AD∥OC，
∴∠ACE＝∠DAC．
∴△ACE∽△DAC．

∴AC²＝AD·CE．
小題3:解法一：如圖，延長BO交DA的延長線于F，連結OA．

∵AD∥OC，
∴∠F＝∠BOC＝90°．
∵∠ABC＝15°，
∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝30°．
∵OA＝OB．
∴∠FOA＝∠OBA＋∠OAB＝60°，∠OAF＝30°．
∴．
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD．

即的值為2．
解法二：作OM⊥BA于M，設⊙O的半徑為r，可得

所以

 略