Question

【題目】圖1、圖2中，點B為線段AE上一點，△ABC與△BED都是等邊三角形.

(1)如圖1，求證：AD=CE.

(2)如圖2，設CE與AD交于點F，連接BF.

①求證：∠CFA=60°.

②求證：CF+BF=AF.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

(1)如圖1，利用等邊三角形性質得：BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，再證∠ABD=∠CBE，根據SAS證明△ABD≌△CBE得出結論；

(2)①如圖2，利用(1)中的全等得：∠BCE=∠DAB，根據兩次運用外角定理可得結論；

②如圖3，作輔助線，截取FG=CF，連接CG，證明△CFG是等邊三角形，并證明△ACG≌△BCF，由線段的和得出結論.

證明：(1)如圖1，∵△ABC與△BED都是等邊三角形，

∴BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，

∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，

即∠ABD=∠CBE，

∴△ABD≌△CBE(SAS)，

∴AD=CE，

(2)①如圖2，由(1)得：△ABD≌△CBE，

∴∠BCE=∠DAB，

∵∠ABC=∠BCE+∠CEB=60°，

∴∠ABC=∠DAB+∠CEB=60°，

∵∠CFA=∠DAB+∠CEB，

∴∠CFA=60°，

②如圖3，在AF上取一點G，使FG=CF，連接CG，

∵∠AFC=60°，

∴△CGF是等邊三角形，

∴∠GCF=60°，CG=CF，

∴∠GCB+∠BCE=60°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACG+∠GCB=60°，

∴∠ACG=∠BCE，

∵AC=BC，

∴△ACG≌△BCF，

∴AG=BF，

∵AF=AG+GF，

∴AF=BF+CF.