Question

【題目】已知，AB、AC是圓O的兩條弦，AB=AC，過圓心O作OH⊥AC于點H．

（1）如圖1，求證：∠B=∠C；

（2）如圖2，當H、O、B三點在一條直線上時，求∠BAC的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點E為劣弧BC上一點，CE=6，CH=7，連接BC、OE交于點D，求BE的長和的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．（2）∠BAC=60°；

（3）BM=5，=.

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，連接OA．欲證明∠B=∠C，只要證明△AOC≌△AOB即可．

（2）由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一條直線上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC為等邊三角形，即可解決問題．

（3）過點B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．設ME=x，則BE=2x，BM=x，在△BCM中，根據BC2=BM2+CM2，可得BM=5，推出sin∠BCM==，推出NE=，OK=CK=，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，連接OA．

∵AB=AC，

∴弧AC=弧AB，

∴∠AOC=∠AOB，

在△AOC和△AOB中，

，

∴△AOC≌△AOB，

∴∠B=∠C．

解：（2）連接BC，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH，

∵H、O、B在一條直線上，

∴BH垂直平分AC，

∴AB=BC，∵AB=AC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°．

解：（3）過點B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．

∵CH=7，

∴BC=AC=14，

設ME=x，

∵∠CEB=120°，

∴∠BEM=60°，

∴BE=2x，

∴BM=x，

△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，

∴142=（x）2+（6+x）2，

∴x=5或﹣8（舍棄），

∴BM=5，

∴sin∠BCM==，

∴NE=，

∴OK=CK=，

∵NE∥OK，

∴DE：OD=NE：OK=45：49．