Question

如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內切圓圓心O，且點E在半圓弧上．①若正方形的頂點F也在半圓弧上，則半圓的半徑與正方形邊長的比是

5

：2

；②若半圓的直徑AB=21，△ABC的內切圓半徑r=4，則正方形DEFG的面積為

100

．

Answer 1

分析：①根據圓和正方形的對稱性可知：GH=

1

2

DG=

1

2

GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=

5

a，從而用含a的代數式表示半圓的半徑為

5

a，正方形邊長為2a，所以可求得半圓的半徑與正方形邊長的比；
②連接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且邊長是4，可設BD=x，AD=y，則BD=BH=x，AD=AI=y，分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關系列方程求解即可．

解答：解：①如圖，根據圓和正方形的對稱性可知：GH=

1

2

DG=

1

2

GF，
H為半圓的圓心，不妨設GH=a，則GF=2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=

5

a．由此可得，半圓的半徑為

5

a，正方形邊長為2a，
所以半圓的半徑與正方形邊長的比是

5

a：2a=

5

：2；


②連接OI、OJ，可得OICJ是正方形，且邊長是4，
設BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）²+（y+4）²=（x+y）²；
∴8（x+y）+32=2xy，
在直角三角形AEB中，可以證得△ADE∽△EBD∽△ABE，
于是得到ED²=AD•BD，即10²=x•y②．
∴正方形DEFG的面積為：100，
故答案為：①

5

：2，②100．

點評：此題主要考查了圓、三角形、方程等知識，是一道綜合性很強的題目，難度偏上，需要正確理解相關知識點及懂得運用方能很好的解答本題．