Question

【題目】已知，如圖1，在ABCD中，點E是AB中點，連接DE并延長，交CB的延長線于點F．

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）如圖2，點G是邊BC上任意一點（點G不與點B、C重合），連接AG交DF于點H，連接HC，過點A作AK∥HC，交DF于點K．

①求證：HC=2AK；

②當點G是邊BC中點時，恰有HD=nHK（n為正整數），求n的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）n=4.

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，得到∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，利用AAS定理證明即可；

（2）作BN∥HC交EF于N，根據全等三角形的性質、三角形中位線定理證明；

（3）作GM∥DF交HC于M，分別證明△CMG∽△CHF、△AHD∽△GHF、△AHK∽△HGM，根據相似三角形的性質計算即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，

在△ADE和△BFE中，

∴△ADE≌△BFE；

（2）如圖2，作BN∥HC交EF于N，

∵△ADE≌△BFE，

∴BF=AD=BC，

∴BN=HC，

由（1）的方法可知，△AEK≌△BFN，

∴AK=BN，

∴HC=2AK；

（3）如圖3，作GM∥DF交HC于M，

∵點G是邊BC中點，

∴CG=CF，

∵GM∥DF，

∴△CMG∽△CHF，

∴，

∵AD∥FC，

∴△AHD∽△GHF，

∴，

∴，

∵AK∥HC，GM∥DF，

∴△AHK∽△HGM，

∴，

∴，即HD=4HK，

∴n=4．