Question

【題目】（發現）(1)如圖1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，對于以下結論：

①AD是△ABC的中線；②S△ABD：S△ACD＝AB：AC；③AB：AC＝BD：DC,

其中正確的是　 　(只填序號)

（探究）(2)請你選擇(1)中正確的一個選項，簡述理由

（應用）(3)如圖2，△ABC的三個內角的角平分線相交于點O，且AB＝40，BC＝48，AC＝32，則SABO：S△BCO：S△ACO＝　 　：　 　：　 　

（拓展）(4)在(1)中的條件下，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AB于點F，連接EF，求證：AD垂直平分EF．

Answer 1

【答案】(1)②③；(2)見解析；(3)5，6，4；(4)證明見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的性質和三角形面積公式逐一判斷可得；

（2）②由AD平分∠BAC知點D到AB、AC的距離相等，設為h，由S△ABD=ABh，S△ACD=ACh可判斷結論②；③作AP⊥BC，由S△ABD=BDAP，S△ACD=CDAP知S△ABD：S△ACD=BD：CD，結合S△ABD：S△ACD=AB：AC可得答案；

（3）作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥AC于G，根據角平分線的性質知OE=OF=OG，根據S△ABO=ABOE，S△BCO=BCOF，S△ACO=ACOG可得答案；

（4）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=DF，再利用“HL”證明△ADE和△ADF全等，根據全等三角形的可得AE=AF，再利用等腰三角形的證明即可．

(1)正確的是②③，

故答案為：②③．

(2)②∵AD平分∠BAC，

∴點D到AB、AC的距離相等，設為h，

則S△ABD＝ABh，S△ACD＝ACh，

∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC；

③如圖1，作AP⊥BC于點P，

則S△ABD＝BDAP，S△ACD＝CDAP，

∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD，

又∵S△ABD：S△ACD＝AB：AC，

∴AB：AC＝BD：CD．

(3)如圖2，過點O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥AC于G，

∵AO，BO，CO分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，

∴OE＝OF＝OG，

∵S△ABO＝ABOE，S△BCO＝BCOF，S△ACO＝ACOG，

∴SABO：S△BCO：S△ACO＝AB：BC：AC＝40：48：32＝5：6：4，

故答案為：5：6：4；

(4)如圖3，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

在△ADE和△ADF中，

∵，

∴△ADE≌△ADF(HL)，

∴AE＝AF，

又∵AD平分∠BAC，

∴AD垂直平分EF．