Question

【題目】已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）發現：如圖1，當點E在AB上且點C和點D重合時，若點M、N分別是DB、EC的中點，則MN與EC的位置關系是　 　，MN與EC的數量關系是　 　

（2）探究：若把（1）小題中的△AED繞點A旋轉一定角度，如圖2所示，連接BD和EC，并連接DB、EC的中點M、N，則MN與EC的位置關系和數量關系仍然能成立嗎？若成立，請以逆時針旋轉45°得到的圖形（圖3）為例給予證明位置關系成立，以順時針旋轉45°得到的圖形（圖4）為例給予證明數量關系成立，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見解析.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質以及三角形中位線定理得出得出MN與EC的位置關系和MN與EC的數量關系；

（2）首先得出△EDM≌△FBM（SAS），進而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，進而得出MN⊥EC，再利用△EDM≌△FBM（AAS），得出，MN與EC的數量關系．

解：（1），理由如下：

∵當點E在AB上且點C和點D重合時，點M、N分別是DB、EC的中點，

∴MN是三角形BED的中位線，

∴MN∥BE，MN=BE，

∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，

∴BE=EC，∠AED=90°，

∴MN與EC的位置關系是：MN⊥EC，MN與EC的數量關系是：MN=EC，

故答案為：MN⊥EC，MN=EC；

（2），理由如下：

如下圖，連接EM并延長到F，使EM=MF，連接CM、CF、BF，

∵BM=MD，∠EMD=∠BMF，

∴△EDM≌△FBM（SAS），

∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，

∴∠FBC=∠EAC=90°，

而AC＝BC，

∴△EAC≌△FBC（SAS），

∴FC=EC, ∠FCB=∠ECA，

∴∠ECF=∠FCB+∠BCE =∠ECA+∠BCE=90°

又點M、N分別是EF、EC的中點

∴MN∥FC，

∴MN⊥EC，

再如下圖所示，連接EM并延長交BC于F，

∵∠AED=∠ACB=90°，

∴DE∥BC，

∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，

在△EDM和△FBM中，

，

∴△EDM≌△FBM（AAS），

∴BF=DE=AE，EM=FM，

∴.