Question

如圖，已知O是平行四邊形ABCD對角線AC的中點，過O的直線EF分別交AB、CD于E、F兩點．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）填空：不添加輔助線，則圖中全等的三角形共有______對．

Answer 1

（1）證明：在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
又∵OA=OC，∠EOA=∠FOC，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形．

（2）解：由（1）知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，∠FOA=∠EOC，OA=OC，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∵FC=EA，AF=CE，AC=AC，
∴△AFC≌△CEA（SSS），
∵FC=EA，CE=AF，EF=FE，
∴△AFE≌△CEF（SSS），
∵AD=CB，DC=BA，AC=CA，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
∵AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
因此，共6對．
分析：（1）在題中通過全等可證三角形CFO和三角形AEO全等，從而OE=OF，再者OA=OC，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證．
（2）平行四邊形的對角線將把四邊形分成四組全等三角形，因此在?AECF中有四對，再加上原?ABCD中兩對，一共有六對．
點評：此題主要借助三角形全等考查了平行四邊形的判定，難易程度適中．熟練掌握判定定理是解題的關鍵．