Question

【題目】已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點．

（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是 ，QE與QF的數量關系式 ；

（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；

（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，證明見試題解析；（3）成立，證明見試題解析．

【解析】試題分析：(1)、證△BFQ≌△AEQ即可；(2)、證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可；(3)、證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可．

試題解析：(1)、AE∥BF，QE=QF， 理由是：如圖1，∵Q為AB中點， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°， 在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE=QF，

(2)、QE=QF， 如圖2，延長FQ交AE于D， ∵Q為AB中點， ∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF=QD， ∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線， ∴QE=QF=QD， 即QE=QF．

(3)、(2)中的結論仍然成立， 如圖3， 延長EQ、FB交于D， ∵Q為AB中點，

∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠1=∠D， 在△AQE和△BQD中，

， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP，

∴FQ是斜邊DE上的中線， ∴QE=QF．