Question

已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點，圓心A的坐標為（1，0），⊙A的半徑為，過C作⊙A的切線交x軸于點B（-4，0）。
（1）求切線BC的解析式；
（2）若點P是第一象限內⊙A上的一點，過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G，且∠CGP=120°，求點G的坐標；
（3）向左移動⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動過程中是否存在點A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）連接AC，∵BC是⊙A的切線， ∴∠ACB=90°， ∴， ∵， ∴， ∴∠BCO=∠CAO， ∴△BCO∽△CAO， ∴， 即， ∴CO=2， ∴點C坐標是（0，2）， 設直線BC的解析式為， ∵該直線經過點B（-4，0）與點C（0，2）， ∴ 解得 ∴該直線解析式為；
（2）連接AG，過點G作， 由切線長定理知， 在Rt△ACG中， ∵， ∴， 在Rt△BOC中，由勾股定理得，  ∴， 又∵  ， ∴△BOC∽△BHG， ∴， ∴， 則是點G的縱坐標， ∴， 解得， ∴點G的坐標；
（3）如圖示，當A在點B的右側時， ∵E、F在⊙A上， ∴， 若△AEF是直角三角形， 則∠EAF=90°，且為等腰直角三角形， 過點A作，在中由三角函數可知，  又∵△BOC∽△BMA ， ∴， ∴， ∴， ∴點A坐標是， 當A在點B的左側時：同理可求點A坐標是。