Question

【題目】(1)如圖，AC平分∠DAB，∠1=∠2，試說明AB與CD的位置關系，并予以證明；

(2)如圖，AB∥CD，AB的下方兩點E、F滿足:BF平分∠ABE、DF平分∠CDE，若∠DFB=20°，∠CDE=70°，求∠ABE的度數；

(3)在前面的條件下，若P是BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列結論:①∠DGP-∠MGN的值不變；②∠MGN的度數不變，可以證明只有一個是正確的，請你作出正確的選擇并求值.

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD；（2）∠ABE=30°；（3）②∠MGN的度數為15°不變，證明見解析.

【解析】

（1）根據內錯角相等，兩直線平行證明即可；
（2）先由角平分線的定義可得：∠CDF＝∠CDE=35°，∠ABE=2∠ABF，然后根據兩直線平行內錯角相等，可得：∠2=∠CDF=35°，然后利用三角形外角的性質求出∠ABF的度數，進而可求∠ABE的度數；
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠1=∠BPG+∠B，再根據平行線的性質以及角平分線的定義表示出∠MGP、∠DPQ，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠NGP=∠GPQ，然后列式表示出∠MGN=∠B，從而判定②正確．

（1）結論：AB∥CD．
證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴AB∥CD；
（2）解：如圖2，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠CDE=35°，∠ABE=2∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠CDF=35°，
∵∠2=∠DFB+∠ABF，∠DFB=20°，
∴∠ABF=15°，
∴∠ABE=2∠ABF=30°；
（3）解：②結論MGN的度數為15°不變．

如圖3，根據三角形的外角性質，∠1=∠BPG+∠B，

∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=∠BPG，∠MGP=∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=（∠BPG+∠B）-∠BPG=∠B，
根據前面的條件，∠B=30°，
∴∠MGN=×30°=15°，
∴①∠DGP-∠MGN的值隨∠DGP的變化而變化；②∠MGN的度數為15°不變．