Question

對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關聯點。已知點D（，），E（0，－2），F（，0）

（1）當⊙O的半徑為1時，

①在點D，E，F中，⊙O的關聯點是       ；

②過點F作直線交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P（m，n）是⊙O的關聯點，求m的取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑r的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）①D，E②0≤m≤（2）r≥1

【解析】解：（1）①D，E。

②由題意可知，若P要剛好是⊙C的關聯點，需要點P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°。

由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，

連接BC，則，

∴若P點為⊙C的關聯點，則需點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r。

由（1），考慮臨界點位置的P點，

如圖3，

點P到原點的距離OP=2×1=2，

過點O作x軸的垂線OH，垂足為H，

則。

∴∠OGF=60°。

∴OH=OGsin60°=，。

∴∠OPH=60°。可得點P₁與點G重合。

過點P₂作P2M⊥x軸于點M，可得∠P₂OM=30°，

∴OM=OP2cos30°=。

∴若點P為⊙O的關聯點，則P點必在線段P₁P₂上。

∴0≤m≤。

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的中點。

考慮臨界情況，如圖4，

即恰好E、F點為⊙K的關聯時，則KF=2KN=EF=2，此時，r=1。

∴若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，這個圓的半徑r的取值范圍為r≥1。

（1）①根據關聯點的定義，得出E點是⊙O的關聯點，進而得出F、D，與⊙O的關系：

如圖1所示，過點E作⊙O的切線設切點為R，

∵⊙O的半徑為1，∴RO=1。

∵EO=2，∴∠OER=30°。

根據切線長定理得出⊙O的左側還有一個切點，使得組成的角等于30°。

∴E點是⊙O的關聯點。

∵D（，），E（0，－2），F（2，0），

∴OF＞EO，DO＜EO。

∴D點一定是⊙O的關聯點，而在⊙O上不可能找到兩點使得組成的角度等于60°。故在點D、E、F中，⊙O的關聯點是D，E。

②若P要剛好是⊙C的關聯點，需要點P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，進而得出PC的長，進而得出點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r，再考慮臨界點位置的P點，進而得出m的取值范圍。

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的中點；再考慮臨界情況，即恰好E、F點為⊙K的關聯時，則KF=2KN=EF=2，即可得出圓的半徑r的取值范圍。