Question

【題目】【操作發現】在計算器上輸入一個正數，不斷地按“ ”鍵求算術平方根，運算結果越來越接近1或都等于1．
【提出問題】輸入一個實數，不斷地進行“乘以常數k，再加上常數b”的運算，有什么規律？
【分析問題】我們可用框圖表示這種運算過程（如圖a）．
也可用圖象描述：如圖1，在x軸上表示出x1 ， 先在直線y=kx+b上確定點（x1 ， y1），再在直線y=x上確定縱坐標為y1的點（x2 ， y1），然后再x軸上確定對應的數x2 ， …，以此類推．
【解決問題】研究輸入實數x1時，隨著運算次數n的不斷增加，運算結果x，怎樣變化．

（1）若k=2，b=﹣4，得到什么結論？可以輸入特殊的數如3，4，5進行觀察研究；
（2）若k＞1，又得到什么結論？請說明理由；
（3）①若k=﹣ ，b=2，已在x軸上表示出x1（如圖2所示），請在x軸上表示x2 ， x3 ， x4 ， 并寫出研究結論；
②若輸入實數x1時，運算結果xn互不相等，且越來越接近常數m，直接寫出k的取值范圍及m的值（用含k，b的代數式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，

取x1=3，則x2=2，x3=0，x4=﹣4，…

取x1=4，則x2x3=x4=4，…

取x1=5，則x2=6，x3=8，x4=12，…由此發現：

當x1＜4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn越來越小．

當x1=4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn的值保持不變，都等于4．

當x1＞4時，隨著運算次數n的增加，運算結果xn越來越大

（2）

解：當x1＞ 時，隨著運算次數n的增加，xn越來越大．

當x1＜ 時，隨著運算次數n的增加，xn越來越小．

當x1= 時，隨著運算次數n的增加，xn保持不變．

理由：如圖1中，直線y=kx+b與直線y=x的交點坐標為（ ， ），

當x1＞ 時，對于同一個x的值，kx+b＞x，

∴y1＞x1

∵y1=x2，

∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，

∴當x1＞ 時，隨著運算次數n的增加，xn越來越大．

同理，當x1＜ 時，隨著運算次數n的增加，xn越來越小．

當x1= 時，隨著運算次數n的增加，xn保持不變

（3）

解：①在數軸上表示的x1，x2，x3如圖2所示．

隨著運算次數的增加，運算結果越來越接近 ．

②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，

由 消去y得到x=

∴由①探究可知：m= ．

【解析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三種情形解答即可．（2）分x1＞ ，x1＜ ，x1= 三種情形解答即可．（3）①如圖2中，畫出圖形，根據圖象即可解決問題，xn的值越來越接近兩直線交點的橫坐標．
②根據前面的探究即可解決問題．本題考查一次函數綜合題以及性質，解題的關鍵是學會從一般到特殊探究規律，學會利用規律解決問題，屬于中考常考題型．
【考點精析】認真審題，首先需要了解一次函數的性質(一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小)．