Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，過點B作BE⊥AB交AD于點E，將線段BE繞點E順時針旋轉90°到EF的位置，點M(點M不與點B重合)在直線AB上，連結EM．

(1)當點M在線段AB的延長線上時，將線段EM繞點E順時針旋轉90°到EN1的位置，連結FN1，在圖中畫出圖形，求證：FN1⊥AB；

(2)當點M在線段BA的延長線上時，將線段EM繞點E順時針旋轉90°到EN2的位置，連結FN2，在圖中畫出圖形，點N2在直線FN1上嗎？請說明理由；

(3)若AB＝3，AD＝6，DE＝1，設BM＝x，在(1)、(2)的條件下，試用含x的代數式表示△FMN的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)點N2在直線FN1上；(3)S1=2x+x2(x＞0)；S2=2x-x2(3<x<4)；S3=x2-2x(x>4).

【解析】

（1）首先證明△EBM1≌△EFN1，再證明四邊形BEFG為矩形，因此證明FN1⊥AB.

（2）首先證明△EBM2≌△EFN2，即可得∠EFN2＝90°，再根據∠EFN1+∠EFN2＝180°，即可得點N2在直線FN1上.

（3）根據（1）的四邊形BEFG為正方形，即可計算AE，再利用在Rt△ABE中，結合勾股定理計算BE，進而分情況討論.

(1)證明：如圖，∵∠BEF＝∠M1EN1＝90°，

∴∠BEM1＝∠FEN1，

∵DB＝DF，EM1＝EN1

∴△EBM1≌△EFN1，

∴∠EFN1＝∠EBM1，

∵EB⊥AB，

∴∠EBM1＝90°

∴∠EFN1＝90°，

∴四邊形BEFG為矩形，

∴∠FGB＝90°

即FN1⊥AB．

(2)如圖，跟（1）同理可證△EBM2≌△EFN2，則∠EFN2＝90°，

由于∠EFN1+∠EFN2＝180°，所以點N2在直線FN1上．

(3)由(1)可知四邊形BEFG為正方形，

∵AD＝6，DE＝1，

∴AE＝5，

在Rt△ABE中，BE＝ ＝4，

當點M1在線段AB的延長線上時，S1＝x(4+x)=2x+x2，此時x＞0；

當點M2在線段BA的延長線上時，

①當3＜x＜4時，S2＝x(4-x)=2x-x2.

②當x＞4時，S3＝x(x-4)=x2-2x．