Question

如圖，在矩形ABCD中，點O是邊AD上的中點，點E是邊BC上的一個動點，延長EO到F，使得OE=OF．
（1）當點E運動到什么位置時，四邊形AEDF是菱形？（直接寫出答案）
（2）若矩形ABCD的周長為20，四邊形AEDF的面積是否存在最大值？如果存在，請求出最大值；如果不存在，請說明理由．
（3）若AB=m，BC=n，當m、n滿足什么條件時，四邊形AEDF能成為一個矩形？（不必說明理由）

Answer 1

分析：（1）根據矩形的性質得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出四邊形是平行四邊形，根據勾股定理求出AE=DE，即可得出答案．
（2）求出S_{四邊形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD，設AB=x，則BC=10-x，四邊形AEDF的面積為y，求出y=x（10-x），求出二次函數的最值即可．
（3）根據矩形能推出△BAE∽△CED，得出比例式，代入得出方程，求出方程的判別式，即可得出答案．

解答：解：（1）當點E運動到BC的中點時，四邊形AEDF是菱形，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵E為BC中點，
∴BE=CE，
由勾股定理得：AE=DE，
∵點O是邊AD上的中點，OE=OF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴平行四邊形AEDF是菱形．
    
（2）存在，
∵點O是AD的中點，
∴AO=DO，
∵OE=OF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴S_{四邊形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD，
設AB=x，則BC=10-x，四邊形AEDF的面積為y，
y=x（10-x）
=-x²+10x
=-（x-5）²+25，
當x=5時，四邊形AEDF的面積最大為25．

（3）當m≤

1

2

n時，四邊形AEDF能成為一個矩形，
理由是：設BE=z，則CE=n-z，
當四邊形AEDF是矩形時，∠AED=90°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠DEC=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴△BAE∽△CED，
∴

AB

CE

=

BE

CD

，
∴

m

n-z

=

z

m

，
∴z²-nz+m²=0，
當判別式△=（-n）²-4m²≥0時，方程有根，即四邊形AEDF是矩形，
解得：m≤

1

2

n，
∴當m≤

1

2

n時，四邊形AEDF能成為一個矩形．

點評：本題考查了矩形的性質，菱形的判定，二次函數的最值，平行四邊形的性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，題目綜合性比較強，有一定的難度．