Question

（1997•北京）已知，如圖，AB為⊙O的直徑，AC與⊙O相切于點A，CE∥AB交⊙O于D、E．求證：EB²=CD•AB．

Answer 1

分析：連接AD，BD，由AB為圓的直徑，AC為切線，分別得到一對直角相等，再由CE與AB平行，得到一對角互補，確定出∠C為直角，確定出∠C=∠ADB，再利用弦切角等于夾弧所對的圓周角相等得到一對角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形ACD與三角形ABD相似，由相似得比例，再根據平行弦所夾的弧相等及等弧對等弦得到AD=EB，等量代換即可得證．

解答：證明：連接AD、DB，
∵AB是圓O的直徑，AC切圓O于點A，
∴∠CAB=90°，∠ADB=90°，
∵CE∥AB，
∴∠C+∠CAB=180°，
∴∠C=90°，∠C=∠ADB，
∵∠CAD=∠DBA，
∴△ACD∽△BDA，
∴

CD

AD

=

AD

AB

，
∴AD²=CD•AB，
∵CE∥AB，
∴

AD

=

EB

，
∴AD=EB
∴EB²=CD•AB．

點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．