Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC，交AC于點E，交PC于點F，連接AF．

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）已知⊙O的半徑為4，AF=3，求線段AC的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，先證出∠3=∠2，由SAS證明△OAF≌△OCF，得對應(yīng)角相等∠OAF=∠OCF，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCF=90°，證出∠OAF=90°，即可得出結(jié)論；

（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面積求出AE，根據(jù)垂徑定理得出AC=2AE．

試題解析：（1）連接OC，如圖所示：

∵AB是⊙O直徑，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的半徑為4，AF=3，∠OAF=90°，

∴OF==5

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面積=AFOA=OFAE，

∴3×4=5×AE，

解得：AE=，

∴AC=2AE=．