Question

【題目】如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x（cm）．

（1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V；

（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？

Answer 1

【答案】（1）這個包裝盒的體積是432cm3；

（2）當x=8時，S取得最大值384cm2．

【解析】

試題分析：（1）根據已知得出這個正方體的底面邊長NQ=ME=x，EF=ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個包裝盒的體積V；

（2）利用已知表示出包裝盒的表面，進而利用函數最值求出即可．

解：（1）根據題意，設AE=BF=x（cm），折成的包裝盒恰好是個正方體，

知這個正方體的底面邊長NQ=ME=x，則QE=QF=x，故EF=ME=2x，

∵正方形紙片ABCD邊長為24cm，

∴x+2x+x=24，

解得：x=6，

則 正方體的底面邊長a=6，

V=a3==432（cm3）；

答：這個包裝盒的體積是432cm3；

（2）設包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a=，h=，

∴S=4ah+a2=4x（12﹣x）+=﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，

∵0＜x＜12，

∴當x=8時，S取得最大值384cm2．