Question

【題目】如圖1，已知□ABCD，AB//x軸，AB=6，點A的坐標為（1，-4），點D的坐標為（-3,4），點B在第四象限，點P是□ABCD邊上的一個動點.

（1）若點P在邊BC上，PD=CD，求點P的坐標.
（2）若點P在邊AB，AD上，點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y=x-1上，求點P的坐標.
（3）若點P在邊AB，AD，CD上，點G是AD與y軸的交點，如圖2，過點P作y軸的平行線PM，過點G作x軸的平行線GM，它們相交于點M，將△PGM沿直線PG翻折，當點M的對應點落在坐標軸上時，求點P的坐標（直接寫出答案）.

Answer 1

【答案】
（1）

解：在□ABCD中， CD=AB=6，

所以點P與點C重合，

所以點P的坐標為（3,4）.

（2）

解：①當點P在邊AD上時，

由已知得，直線AD的函數表達式為y=-2x-2，

設P（a,-2a-2），且-3≤a≤1，

若點P關于x軸對稱點Q1（a,2a+2）在直線y=x-1上，

所以2a+2=a-1，解得a=-3，此時P（-3,4）。

若點Ｐ關于y軸對稱點Q2（-a,-2a-2）在直線y=x-1上，

所以-2a-2=-a-1，解得a=-1，此時P（-1,0）.

②當點P在邊AB上時，設P（a,-4）,且1≤a≤7，

若點P關于x軸對稱點Q3（a，4）在直線y=x-1上，

所以4=a-1，解得a=5,此時P（5，-4）.

若點P關于y軸對稱點Q4（-a,-4）在直線y=x-1上，

所以-4=-a-1，解得a=3,此時P（3，-4）.

綜上所述，點P的坐標為（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.

（3）

解：因為直線AD為y=-2x-2，所以G（0,-2）.

①如圖，當點P在CD邊上時，可設P（m，4）,且-3≤m≤3,

則可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|，

易證得△OGM′~△HM′P，

則 ,

即 ，

則OM′= ，

在Rt△OGM′中，

由勾股定理得， ，

解得m= 或 ，

則P（ ，4）或（ ，4）；

②如下圖，當點P在AD邊上時，設P（m,-2m-2）,

則PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|,

易證得△OGM′~△HM′P，

則 ,

即 ，

則OM′= ，

在Rt△OGM′中，

由勾股定理得， ，

整理得m= ,

則P（ ，3）；

如下圖，當點P在AB邊上時，設P（m，-4），

此時M′在y軸上，則四邊形PM′GM是正方形，

所以GM=PM=4-2=2，

則P（2，-4）.

綜上所述，點P的坐標為（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）.

【解析】（1）點P在BC上，要使PD=CD，只有P與C重合；（2）首先要分點P在邊AB，AD上時討論，根據“點P關于坐標軸對稱的點Q”，即還要細分“點P關于x軸的對稱點Q和點P關于y軸的對稱點Q”討論，根據關于x軸、y軸對稱點的特征（關于x軸對稱時，點的橫坐標不變，縱坐標變成相反數；關于y軸對稱時，相反；）將得到的點Q的坐標代入直線y=x-1，即可解答；（3）在不同邊上，根據圖象，點M翻折后，點M’落在x軸還是y軸，可運用相似求解.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對翻折變換（折疊問題）的理解，了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．