Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．

（1）求證：ABCF=CBCD；

（2）已知AB=15，BC=9，P是射線DE上的動點，設DP=x（x＞0），四邊形BCDP的面積為y．

①求y關于x的函數關系式；

②當PB+PC最小時，求x，y的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①y=（x+9）×6=3x+27（x＞0）；②x=，此時y=．

【解析】

試題分析：（1）首先證得△DCF∽△ABC，利用相似三角形的性質可得結論；

（2）①由勾股定理可得BC的長，利用梯形的面積公式可得結果；②首先由垂直平分線的性質可得點C關于直線DE的對稱點是點A，PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小即可，因為當P、A、B三點共線時PB+PA最小，由中位線的性質可得EF=，由（1）知CF：BC=CD：AB，可得CD，即得AD，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF，易得DE，即得x，代入①可得y．

（1）證明：如圖1，∵AD=CD，DE⊥AC，

∴DE垂直平分AC，

∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF，

∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，

∴∠DCF=∠DAF=∠B，

在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，

∴△DCF∽△ABC，

∴，

∴ABCF=CBCD；

（2）解：①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，

∴AC===12，

∴CF=AF=6，

∴y=（x+9）×6=3x+27（x＞0）；

②由（1）知點C關于直線DE的對稱點是點A，

∴PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小，顯然當P、A、B三點共線時PB+PA最小，

此時DP=DE，PB+PA=AB，

∵EF∥BC，∴EF=，

∵CF：BC=CD：AB，即6：9=CD：15，

∴CD=10=AD，

Rt△ADF中，AD=10，AF=6，

∴DF=8，

∴DE=DF+EF=8+=，

∴x=，此時y=．