Question

（2010•海滄區質檢）在△ABC中，∠ACB為銳角，動點D（異于點B）在射線BC上，連接AD，以AD為邊在AD的右側作正方形ADEF，連接CF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么
①如圖一，當點D在線段BC上時，線段CF與BD之間的位置、大小關系是

CF=BD，CF⊥BD

（直接寫出結論）
②如圖二，當點D在線段BC的延長上時，①中的結論是否仍然成立？請說明理由．
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．點D在線段BC上，那么當∠ACB等于多少度時？線段CF與BD之間的位置關系仍然成立．請畫出相應圖形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據正方形和等邊三角形的性質得出AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，求出∠BAD=∠CAF，證△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF，求出∠FCB=90°即可；
②求出∠BAD=∠CAF，證△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF，求出∠FCB=90°即可；
（2）在BD上截取AM=AC，連接AM，與（1）證明過程類似證MAD≌△CAF即可求出答案．

解答：（1）①CF=BD　CF⊥BD，
解：結論還成立，CF=BD　CF⊥BD，
理由是：∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CF⊥BD，
故答案為：CF=BD，CF⊥BD．

②解：結論還成立，
理由是由①知，∠BAC=FAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠FAC，
∵在△BAD和△CAF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CF⊥BD，
即①的結論還成立．

（2）解：當∠ACB=45°時，CF⊥BD
理由是：如圖1，當∠BAC＞90°，過點A作AM⊥CA交BC于M，
則AM=AC，
由（1）同理可證明△FAC≌△MAD，
∴∠ACF=∠AMD=45°，
∴∠FCB=90°，
即CF⊥BD．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形的性質，主要培養學生的推理能力，本題具有一定的代表性，證明過程類似，透過做此題培養了學生的發散思維能力．