Question

9、如圖，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²．其中正確的是（　　）

A、②④

B、①④

C、②③

D、①③

Answer 1

分析：由△ADC繞點A順時針旋轉90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判斷∠FAE=∠DAE，可證①△AED≌△AEF．由已知條件可證△BEF為直角三角形，則有④BE²+DC²=DE²是正確的．

解答：解：∵△ADC繞點A順時針旋轉90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，
∴AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，AE為△AED和△AEF的公共邊，
∴△AED≌△AEF
∴ED=FE
在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ACB=∠ABF，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴在Rt△FBE中BE²+BF²=FE²，
∴BE²+DC²=DE²③顯然是不成立的．
故正確的有①④，不正確的有③，②不一定正確．
故選B

點評：本題考查的知識點較多，由圖形的旋轉變換、圖形的全等、圖形的相似、勾股定理等知識點，通過判斷可知①④是正確的．