Question

【題目】如圖1,直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點,OC平分∠AOB交AB于點C,點D為線段AB上一點,過點D作DE//OC交y軸于點E,已知AO=m,BO=n,且m、n滿足n2-12+36+|n-2m|=0.

(1)求A、B兩點的坐標?

(2)若點D為AB中點,求OE的長?

(3)如圖2,若點P(x,-2x+6)為直線AB在x軸下方的一點,點E是y軸的正半軸上一動點,以E為直角頂點作等腰直角△PEF,使點F在第一象限,且F點的橫、縱坐標始終相等,求點P的坐標.

Answer 1

【答案】(1) 點A為（3,0），點B為（0,6）;(2) OE=1.5;(3) 點P為（6，-6）.

【解析】分析：（1）根據非負數的性質，得出方程（n-6）2=0，|n-2m|=0，求得m=3，n=6，即可得到A、B兩點的坐標；（2）延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DG=DF，連接BG，構造全等三角形，再根據BG=BE列出關于x的方程，即可求得OE的長；（3）分別過點F、P作FM⊥y軸于點M，PN⊥y軸于點N，設點E為（0，m），構造全等三角形，再根據F點的橫坐標與縱坐標相等，得出方程m+2x-6=m+x，解得：x=6，即可得到點P為（6，-6）．

本題解析：

（1）∵

∴

∵，

∴,

∴ m=3，n=6

∴點A為（3,0），點B為（0,6）

（2）延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DG=DF，連接BG

設OE=x

∵OC平分∠AOB

∴∠BOC=∠AOC=45°

∵DE∥OC

∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°

∴OE=OF=x

在△ADF和△BDG中

∵

∴△ADF≌△BDG（SAS）

∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°

∴∠G=∠BEG=45°

∴BG=BE=6-x

∴6-x=3+x

解得：x=1.5

∴OE=1.5

（3）分別過點F、P作FM⊥y軸于點M，PN⊥y軸于點N

設點E為（0，m）

∵點P的坐標為（x，-2x+6）

則PN=x，EN=m+2x-6

∵∠PEF=90°

∴∠PEN+∠FEM=90°

∵FM⊥y軸

∴∠MFE+∠FEM=90°

∴∠PEN=∠MFE

在△EFM和△PEN中

∵

∴△EFM≌△PEN（AAS）

∴ME=NP=x，FM=EN=m+2x-6

∴點F為（m+2x-6，m+x）

∵F點的橫坐標與縱坐標相等

∴m+2x-6=m+x

解得：x=6

∴點P為（6，-6）