Question

【題目】（1）數學理解：如圖①，是等腰直角三角形，過斜邊的中點作正方形，分別交，于點，，求證：；

（2）問題解決：如圖②，在任意直角內，找一點，過點作正方形，分別交，于點，，若，求的度數；

（3）聯系拓廣；如圖③，在（2）的條件下，分別延長，，交于點，，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）45°；（3）

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質可得AC=BC，∠A=∠B=45°，AB=AC，由正方形的性質可得DE=DF=CE，∠DFC=∠DEC=90°，可求AF=DF=CE，即可得；
(2)延長AC，使FM=BE，通過證明△DFM≌△DEB，可得DM=DB，通過△ADM≌△ADB，可得∠DAC=∠DAB=∠CAB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，即可得到的度數；
(3)由正方形的性質可得DE//AC，DF//BC，由平行線的性質可得∠DAB=∠ADM，∠NDB=∠ABD，可得AM=MD，DN=NB，即可求MN，AM，BN的數量關系，即可求出的長．

(1)證明：∵△ABC是等腰直角三角形
∴AC=BC，∠A=∠B=45°，AB=AC
∵四邊形DECF是正方形
∴DE=DF=CE=CF，∠DFC=∠DEC=90°
∴∠A=∠ADF=45°
∴AF=DF=CE
∴AF+BE=BC=AC
∴AB=(AF+BE)

∴；
(2)如圖，延長AC，使FM=BE，連接DM，

∵四邊形DECF是正方形
∴DF=DE，∠DFC=∠DEC=90°，
在△DFM和△DEB中，
,
∴△DFM≌△DEB(SAS)
∴DM=DB，
∵AB=AF+BE，AM=AF+FM，FM=BE，
∴AM=AB，且DM=DB，AD=AD，
在△ADM和△ADB，
,
∴△ADM≌△ADB(SSS)，
∴∠DAC=∠DAB= ∠CAB，
同理可得：∠ABD=∠CBD= ∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAB+∠ABD= (∠CAB+∠CBA)=45°，
(3)∵四邊形DECF是正方形，
∴DE//AC，DF//BC，
∴∠CAD=∠ADM，∠CBD=∠NDB，∠MDN=∠AFD=90°，
∵∠DAC=∠DAB，∠ABD=∠CBD，
∴∠DAB=∠ADM，∠NDB=∠ABD，
∴AM=MD，DN=NB，
在Rt△DMN中，MN2=MD2+DN2，
∴MN2=AM2+NB2．

∵，，

∴MN==.