Question

【題目】在⊙O中,AB為直徑,C為⊙O上一點．

(1)如圖1,過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P,若∠CAB=27°,求∠P的大小；

(2)如圖2,D為上一點,且OD經過AC的中點E,連接DC并延長,與AB的延長線相交于點P,若∠CAB=10°,求∠P的大小．

Answer 1

【答案】(1) ∠P=36°；(2) ∠P=30°.

【解析】

（1）連接OC，首先根據切線的性質得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形兩銳角互余即可求得答案；

（2）根據E為AC的中點得到OD⊥AC，從而求得∠AOE=90°-∠EAO=80°，然后利用圓周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性質求解即可．

（1）如圖，連接OC，∵⊙O與PC相切于點C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；

（2）∵E為AC的中點，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，

在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，

∵∠ACD是△ACP的一個外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．