Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16=0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x=﹣2．

（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）求此拋物線的表達式；
（3）連接AC，BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A，點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：解方程x2﹣10x+16=0得x1=2，x2=8

∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC

∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）

又∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=﹣2

∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（﹣6，0）

（2）解：∵點C（0，8）在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上

∴c=8，將A（﹣6，0）、B（2，0）代入表達式，

得：

解得

∴所求拋物線的表達式為y=﹣ x2﹣ x+8

（3）解：依題意，AE=m，則BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10

∵EF∥AC

∴△BEF∽△BAC

∴ = ，即 =

∴EF= （6分）

過點F作FG⊥AB，垂足為G，

則sin∠FEG=sin∠CAB=

∴ =

∴FG= =8﹣m

∴S=S△BCE﹣S△BFE

= （8﹣m）×8﹣ （8﹣m）（8﹣m）

= （8﹣m）（8﹣8+m）

= （8﹣m）m

=﹣ m2+4m

自變量m的取值范圍是0＜m＜8

（4）解：存在．

理由：∵S=﹣ m2+4m=﹣ （m﹣4）2+8且﹣ ＜0，

∴當m=4時，S有最大值，S最大值=8 （10分）

∵m=4，

∴點E的坐標為（﹣2，0）

∴△BCE為等腰三角形．

【解析】（1）先解關于x的一元二次方程，得到線段OB、OC的長，從而可得到B、C兩點坐標，根據拋物線的對稱性可得點A坐標；
（2）把A、B、C三點代入二次函數解析式，得到關于a、b、c的方程組，從而可求得二次函數解析式；
（3）依據圖形可得到S△EFF=S△BCE-S△BFE，從而可得到S與m的函數關系；
（4）利用二次函數求出最值，進而求得點E坐標．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形.