Question

【題目】如圖，在中，，在、上分別找點、，使，將繞點順時針方向旋轉，的中點恰好落在的中點，延長交于，連接.

（1）四邊形是什么特殊四邊形？說明理由.

（2）是否存在中，使得圖中四邊形為菱形？若不存在，說明理由；若存在，求出此時的面積與面積的倍數關系.

Answer 1

【答案】（1）四邊形是平行四邊形，理由見解析；（2）存在，，理由見解析.

【解析】

（1）由于AE＝AF，且O是EF中點，根據等腰三角形三線合一的性質知：AO⊥EF，即FO∥BD，從而證得OF是△ABD的中位線，由此可得BD＝2OF＝EF，那么BD、EF平行且相等，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判斷出四邊形BDFE的形狀．

（2）當四邊形BDFE是菱形時，BD＝FD，即AF＝2BD，由此可得∠FAO＝30°，∠BAC＝∠EAF＝60°；易證得△FOA∽△ABC，首先求出FO、OA即FO、AB的比例關系，即可得到△AFO、△ABC的面積比，進而可得到△AEF、△ABC的面積比．

解：（1）四邊形是平行四邊形；

理由：∵，且是中點，

∴，即；

∵是中點，

∴是的中位線，即，

∴、平行且相等，

∴四邊形是平行四邊形.

（2）若四邊形是菱形，則，即，

∴，；

∵，，

∴，

在中，，則，即；

∴，

又∵，

∴.