Question

將二次函數y=2x²（如圖）向右平移1個單位所得的二次函數的圖象的頂點為點D，并與y軸交于點A．
（1）寫出平移后的二次函數的對稱軸與點A的坐標；
（2）設平移后的二次函數的對稱軸與函數y=2x²的交點為點B，試判斷四邊形OABD是什么四邊形？請證明你的結論；
（3）能否在函數y=2x²的圖象上找一點P，使△DBP是以線段DB為直角邊的直角三角形？若能，請求出點P的坐標；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需根據二次函數的平移規律即可得出平移后的二次函數的解析式，從而得出平移后的二次函數的對稱軸，點A的坐標．
（2）本題需分別求出點A、B、D的坐標即可判斷出四邊形OABD的形狀．
（3）本題需先根據題意確定出點P的位置，從而求出點P的坐標．
解答：解：（1）∵平移后的二次函數的解析式為y=2（x-1）²，
∴平移后的二次函數的對稱軸是x=1，點A的坐標是（0，2）．

（2）∵平移后的二次函數的對稱軸是x=1，
∴與函數y=2x²的交點B的坐標是（1，2），
∵y=2（x-1）^2_的頂點D的坐標是（1，0），
∴四邊形OABD是矩形．

（3）當P點在P₁處時，△DBP是以線段DB為直角邊的直角三角形，
此時點P的坐標為（0，0），
當P點在P₂處時，△DBP是以線段DB為直角邊的直角三角形，
此時點P的坐標為（-1，2）．
點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要能運用數形結合思想，把二次函數的圖象和性質與直角三角形的性質相結合是本題的關鍵．